Puttyで、接続保持を有効にするとよいです。

設定変更のメニューから、接続を選んで、
KeepAliveの秒数を0から60とかにすれば、切れなくなります。

どうも、ルータによってはそのセッションに何も流れてないと、
接続を切ってくるものがある模様。

# うちの実家で、これにはまりました。
# ルータ(NECだった)でつなぎっぱなしにしてても、セッションだけ切ってしまうようです。