クレームつけてくる相手はまず、何らかの理由で怒ってるわけです。
怒ってる相手を落ち着かせる事から入って、冷静に話し合える空気を作るようにしてからが本番なのです。
完璧に相手が悪くても、それを分からせるためには、まず冷静になってもらう必要性が出てきます。

どうしたらいいのか。
出来る限り迅速な対応をします。遅くなればなるほど相手は怒りを増大させていきます。
対応が遅いというだけで不誠実だと思い込んじゃうわけです。なるべく早くが望ましいです。
そしてまず、怒らせちゃってごめんなさい、私はあなたに対して真摯に対応します。
どんな理由で怒っているのでしょうか？まずお聞きします。という姿勢を見せるのです。
まず相手の言いたい事を全部言ってもらいます。こちらはそれを黙って聞きます。
そうすると相手は、それだけでも怒りの大部分が収まります。言いたい事を言えたという満足感を味わうのです。
そこから本題の議論に入るのです。そこでも相手に喧嘩腰ではいけません。
できるかぎり丁寧に、柔らかい口調で相手を尊重します。相手が間違っていても無下に扱わない事です。
そこまでいったら相手はかなり冷静さを取り戻します。そこから自分の言いたいことを説明するのです。
そうすると、冷静な議論になり、相手も説明に納得してくれます。うまくすれば好意を持ってくれる場合すらあります。
まともな人が相手であればこれで殆どは穏便に納まるはずです。（頭のおかしな人には何も通用しませんので要注意）

落ち着かせる、冷静にさせる事に失敗すると、どんなに正論を並べても相手は受け付けなくなります。
そうなるともう、「話し合い」ではなく、いかに相手を言い負かすか、屈服させるかの「勝負」になってしまいます。
そうなったら、簡単なはずのトラブルも収拾つけられなくなります。泥沼化の原因は初期対応の失敗から来るのです。

俺は以前、客相手の商売をしていたのでこうしたノウハウを叩き込まれました。
お客様の家に行ってね、土下座とかしまくりましたよー。つらかったなぁ、あの日々｡ﾟ(ﾟ´Д｀ﾟ)ﾟ｡
ちょっと何かの参考になるんじゃないかと思ったのでつらつらと書いてみました。