匿名で書いてるわけだから厳密に本人特定できるわけないけど
そこはある程度の推定でいいんじゃないだろうか・
（掲示板の仕様に応じた対応が必要かと）

委任の規定が適用され、書き込みに対し
本人から依頼がありそれを消すことで第三者の
不利益が生じないようであれば削除するべきで
しないのであればその責任は管理人に転嫁されるだけの
自己責任の話になります。
ですから義務といっても依頼があった後に
依頼通りにしないのであれば全てあとは
看板の土地所有者と同様に掲示板の管理者の責任ということです。

おそらく法律板などで聞いても同様の回答が帰ってくるでしょう。